\author{叶卢庆}\email{h5411167@gmail.com} 笔者近日在证明 的过程中发展了自己关于多重聚点的想法,现在记录如下. 设 $Y$ 是度量空间 $(X,d)$ 中的 ,且 $Y$ 是无限集,则 $Y$ 在 $(X,d)$ 中有聚点,我们把 $Y$ 在 $(X,d)$ 中的所有聚点叫做 一级聚点, $Y$ 在 $X$ 中的所有一级聚点形成一个集合,叫做一级聚点集合.

 

定理1:$Y$ 在 $X$ 中的一级聚点集合是 $Y$ 的子集.

该定理的证明很容易,留给读者. 如果 $Y$ 在 $X$ 中的一级聚点集合是有限集合,则作罢.如果 $Y$ 在 $X$ 中的一级聚点集合是无限集合,则我们继续看一级聚点集合中的聚点(易得此时一级聚点集合中的聚点肯定存在,为什么?提示:使用聚点原理),我们把一级聚点集合中的聚点叫做 $Y$ 在 $X$ 中的二级聚点,$Y$ 在 $X$ 中的二级聚点形成的集合叫做二级聚点集合.   如果二级聚点集合是有限集合,则作罢.否则可以定义 $Y$ 在 $X$ 中的三级聚点以及三级聚点集合.   依次类推,我们可以定义 $Y$ 在 $X$ 上的 $n$ 级聚点以及 $n$ 级聚点集合 $P_n$.以下定理证明都很容易,留给读者.

 

定理2: $n$ 级聚点集合是 $n-1$ 级聚点集合的子集.

 

定理3:若 $\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i=\emptyset$,则存在正整数 $N$,使得 $P_N$ 是有限集.

定理4:若 $\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i\neq\emptyset$,则 $\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i$ 是无限集,且 $\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i$ 是 $Y$ 中的闭集,且 $\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i$ 中没有孤立点,只有极限点.

 

定理5( 的特例):若 $\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i=\emptyset$,此时若 $X$ 中的开集族覆盖 $Y$,则该开集族存在有限子集族依旧覆盖集合 $Y$.

之所以定理5有必要列出来,是因为该有限覆盖定理的特例的证明比较简单.

定理6:若 $Y$ 是不可数集合,我们令 $A=\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i$,$B=Y\backslash A$,可知 $Y=A\bigcup B$,其中 $A$ 是不可数集合,而 $B$ 是可数集合.

 

推论6.1:若 $\bigcap_{i=1}^{\infty}P_i$ 是可数集合,则 $Y$ 是可数集合.